08. Ρίζες πραγματικών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

9 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Ρίζες πραγματικών αριθμών

1.1 Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού \(\alpha\) ονομάζουμε τον μη αρνητικό αριθμό \(x\) ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό \(\alpha\).

Ο συμβολισμός της είναι \(\sqrt{\alpha}\) και ο ορισμός εκφράζεται συμβολικά με την ισοδυναμία:

\(\sqrt{\alpha} = x \Leftrightarrow x^2 = \alpha\), υπό τις προϋποθέσεις ότι \(\alpha \ge 0\) και \(x \ge 0\).

Θεωρία και Παρατηρήσεις

  • Η \(\sqrt{\alpha}\) παριστάνει τη μοναδική μη αρνητική λύση της εξίσωσης \(x^2 = \alpha\).

  • Τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

  • Αν και η εξίσωση \(x^2 = \alpha\) (με \(\alpha > 0\)) έχει δύο λύσεις (\(\sqrt{\alpha}\) και \(-\sqrt{\alpha}\)), το σύμβολο \(\sqrt{\alpha}\) χρησιμοποιείται αποκλειστικά για τη θετική λύση.

  • Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \(\alpha\), ισχύει η βασική ιδιότητα: \(\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|\).

  • Για να έχει νόημα μια παράσταση της μορφής \(\sqrt{f(x)}\), πρέπει η υπόρριζη ποσότητα να είναι μη αρνητική, δηλαδή \(f(x) \ge 0\).

Να ξαναθυμηθούμε …….

  • \(\sqrt{α^2}=|α|\)
  • \(\dfrac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}=\sqrt{\dfrac{α}{β}}\)
  • \(\sqrt{α} \cdot \sqrt{β}=\sqrt{α\cdot β}\)

1.1.1 Παραδείγματα

  1. \(\sqrt{0} = 0\), διότι \(0^2 = 0\) και \(0 \ge 0\).
  2. \(\sqrt{4} = 2\), διότι \(2^2 = 4\) και \(2 \ge 0\).
  3. \(\sqrt{25} = 5\), διότι \(5^2 = 25\) και \(5 \ge 0\).
  4. \(\sqrt{144} = 12\), διότι \(12^2 = 144\) και \(12 \ge 0\).
  5. \(\sqrt{0,16} = 0,4\), διότι \(0,4^2 = 0,16\).

1.2 ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού \(\alpha\) (όπου \(\nu\) είναι ένας θετικός ακέραιος) συμβολίζεται με \(\sqrt[\nu]{\alpha}\) και ορίζεται ως ο μη αρνητικός αριθμός \(x\) ο οποίος, όταν υψωθεί στη δύναμη \(\nu\), δίνει τον αριθμό \(\alpha\).

Συμβολικά, ο ορισμός εκφράζεται ως: \(\sqrt[\nu]{\alpha} = x \Leftrightarrow x^\nu = \alpha\), υπό τις προϋποθέσεις ότι \(\alpha \ge 0\) και \(x \ge 0\).

Θεωρία και Παρατηρήσεις

  • Πρώτη ρίζα: Είναι ειδική περίπτωση για ν=1 , \(\sqrt[1]{α}=α\).

  • Τετραγωνική Ρίζα: Είναι η ειδική περίπτωση της ν-οστής ρίζας για \(\nu=2\), δηλαδή \(\sqrt{\alpha} = \sqrt{\alpha}\). Ορίζεται ως ο μη αρνητικός αριθμός που, αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον \(\alpha\).

  • Μοναδικότητα: Αν \(\alpha \ge 0\), η \(\sqrt[\nu]{\alpha}\) παριστάνει τη μοναδική μη αρνητική λύση της εξίσωσης \(x^\nu = \alpha\).

  • Περιορισμοί: Η ν-οστή ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών όταν ο δείκτης \(\nu\) είναι άρτιος.

  • Ιδιότητες:

    • \((\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu = \alpha\) και \(\sqrt[\nu]{\alpha^\nu} = \alpha\) (για \(\alpha \ge 0\)).
    • Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \(\alpha\), αν ο \(\nu\) είναι άρτιος, ισχύει \(\sqrt[\nu]{\alpha^\nu} = |\alpha|\).
    • \(\sqrt[\nu]{\alpha} \cdot \sqrt[\nu]{\beta} = \sqrt[\nu]{\alpha \cdot \beta}\).

    Γενικεύεται για περισσότερους όρους \(α_1, α_2, α_3, \cdots , α_μ\)

    Και άν όλοι οι όροι είναι ίσοι , τότε \((\sqrt[v]{α})^μ=\sqrt[v]{α^μ}\)

    • \(\dfrac{\sqrt[v]{α}}{\sqrt[v]{β}}=\sqrt[ν]{\dfrac{α}{β}}\) με \(β\ne 0\).

    • \(\sqrt[κ]{\sqrt[λ]{α}}=\sqrt[κ\cdot λ]{α}\)

    • \(\sqrt[κ \cdot ρ] {α^{λ\cdot ρ}}=\sqrt[κ]{α^λ}\)

    • \(\sqrt[ν]{α^ν\cdotβ}=α\cdot\sqrt[ν]{β}\)

1.2.1 Παραδείγματα

  • Τετραγωνική ρίζα: \(\sqrt{16} = 4\) γιατί \(4^2 = 16\) και \(\sqrt{0,16} = 0,4\).
  • Κυβική ρίζα: \(\sqrt[3]{8} = 2\) γιατί \(2^3 = 8\) και \(\sqrt[3]{125} = 5\).
  • Άλλες ρίζες: \(\sqrt[4]{16} = 2\), \(\sqrt[4]{81} = 3\), \(\sqrt[4]{32} = 2\) και \(\sqrt[4]{625} = 5\).
  • \(\sqrt[5]{243}=3\) , διότι \(3^5=243\)
  • \(\sqrt[5]{0,00001}=0,1\) , διότι \(0,1^5=0,00001\)
  • \(6^η\) ρίζα: \(\sqrt[6]{64}=2\) , γιατί \(2^6=64\)
  • ν-οστή ρίζα της μονάδας και του μηδενός: Για κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει πάντα
    \(\sqrt[ν]{1}=1\) και \(\sqrt[ν]{0}=0\)

1.3 Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη αποτελούν επέκταση της έννοιας της δύναμης, επιτρέποντας στον εκθέτη να είναι κλασματικός αριθμός.

Ορισμός και Θεωρία

Αν \(\alpha > 0\), \(\mu\) είναι ένας ακέραιος και \(\nu\) ένας θετικός ακέραιος (\(\nu \geq 2\)), τότε ορίζουμε ως \(\alpha^{\dfrac{\mu}{\nu}}\) την παράσταση \(\sqrt[\nu]{\alpha^\mu}\). Επιπλέον, αν οι \(\mu\) και \(\nu\) είναι θετικοί ακέραιοι, ορίζεται ότι \(0^{\dfrac{\mu}{\nu}} = 0\). Στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι αρνητικός (\(\mu < 0\)), η βάση \(\alpha\) πρέπει να είναι υποχρεωτικά διάφορη του μηδενός.

Βασικές Ιδιότητες:

  • Αποδεικνύεται ότι όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη, με την προϋπόθεση ότι οι βάσεις είναι θετικές.

  • Η χρήση ρητών εκθετών διευκολύνει σημαντικά τις πράξεις μεταξύ ριζικών, καθώς επιτρέπει τη μετατροπή τους σε δυνάμεις.

  • Μονοτονία: Αν η βάση \(\alpha\) είναι μεγαλύτερη της μονάδας (\(\alpha > 1\)), τότε σε μεγαλύτερο εκθέτη αντιστοιχεί μεγαλύτερη δύναμη (\(p < q \Leftrightarrow \alpha^p < \alpha^q\)). Αντίθετα, αν \(0 < \alpha < 1\), τότε σε μεγαλύτερο εκθέτη αντιστοιχεί μικρότερη δύναμη (\(p < q \Leftrightarrow \alpha^p > \alpha^q\)).

1.3.1 Παραδείγματα

  1. \(8^{\dfrac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\).

  2. \(27^{-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{27^2}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{(3^3)^2}} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}\).

  3. \(\alpha^{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\alpha}\) και \(\alpha^{\dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\alpha}\).

  4. \(x^{\dfrac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}\) και \(x^{\dfrac{4}{3}} = \sqrt[3]{x^4}\).

  5. \(x^{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^5}}\).

  6. Μετατροπή κλάσματος με ριζικά στο παρονομαστή σε κλάσμα με παρονομαστή χωρίς ριζικά

Σημείωση

Η μετατροπή ενός κλάσματος με άρρητο παρονομαστή (που περιέχει ριζικά) σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή ονομάζεται ρητοποίηση του παρονομαστή. Η διαδικασία αυτή γίνεται για να διευκολυνθούν οι πράξεις μεταξύ των κλασμάτων και ο αλγεβρικός λογισμός.

Ανάλογα με τη μορφή του παρονομαστή, ακολουθούμε τις εξής μεθόδους:

Μέθοδοι Ρητοποίησης

  1. Παρονομαστής της μορφής \(\sqrt{\beta}\): Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον ίδιο τον παρονομαστή \(\sqrt{\beta}\). Έτσι, στον παρονομαστή προκύπτει \((\sqrt{\beta})^2 = \beta\), που είναι ρητός αριθμός.

  2. Παρονομαστής της μορφής \(\sqrt[\nu]{\beta^\mu}\) (με \(\mu < \nu\)): Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση \(\sqrt[\nu]{\beta^{\nu-\mu}}\). Με αυτόν τον τρόπο, οι εκθέτες της βάσης \(\beta\) μέσα στη ρίζα προστίθενται (\(\mu + \nu - \mu = \nu\)), η ρίζα απλοποιείται και μένει μόνο ο αριθμός \(\beta\).

  3. Παρονομαστής της μορφής \(\sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta}\): Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή.

    • Αν ο παρονομαστής είναι \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\), η συζυγής είναι η \(\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta}\).

    • Αν ο παρονομαστής είναι \(\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta}\), η συζυγής είναι η \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\). Στον παρονομαστή δημιουργείται η διαφορά τετραγώνων \((\sqrt{\alpha})^2 - (\sqrt{\beta})^2 = \alpha - \beta\), οπότε τα ριζικά εξαφανίζονται.

Παράδειγμα 1: Απλό ριζικό στον παρονομαστή Να τραπεί το κλάσμα \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή: \[\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}^2} = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\]

Παράδειγμα 2: Ρίζα τάξης \(\nu > 2\) Να μετατραπεί το κλάσμα \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{5}}\) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή: Εδώ \(\nu=3\) και \(\mu=1\), οπότε πολλαπλασιάζουμε με \(\sqrt[3]{5^{3-1}} = \sqrt[3]{5^2}\): \[\frac{2}{\sqrt[3]{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{2\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \mathbf{\frac{2\sqrt[3]{25}}{5}}\]

Παράδειγμα 3: Χρήση συζυγούς παράστασης Να μετατραπεί το κλάσμα \(\dfrac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}\) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή: Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση \(\sqrt{7} - \sqrt{3}\): \[\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{7}^2 - \sqrt{3}^2} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \mathbf{\sqrt{7} - \sqrt{3}}\]

1.4 Ασκήσεις

  1. Υπολογισμός: Να βρεθούν οι τιμές των ριζών \(\sqrt{9}\) και \(\sqrt{81}\).

  2. Ύπαρξη: Για ποιες τιμές του \(x\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση \(\sqrt{x-11}\);.

  3. Ιδιότητα \(\sqrt{\alpha^2}\): Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης \(\sqrt{(-20)^2}\) χωρίς το σύμβολο της ρίζας.

  4. Σύνδεση με εξίσωση: Ποια είναι η μοναδική τιμή του \(x\) που ικανοποιεί τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας \(\sqrt{64} = x\);.

  5. Έλεγχος ορθότητας: Να εξετάσετε αν η ισότητα \(\sqrt{100} = \sqrt{36} + \sqrt{64}\) είναι αληθής ή ψευδής βάσει του ορισμού.

  6. Υπολογισμός: Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων \(\sqrt{(-23)^2}\) και \(\sqrt{(-32)^2}\).

  7. Ύπαρξη: Για ποιες τιμές του \(x\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση \(\sqrt{x-3}\);

  8. Απλοποίηση: Να απλοποιηθεί η παράσταση \(\sqrt{x^4 - 2x^2 + 1}\).

  9. Σύνθετη ρίζα: Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης \(\sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{4}}}}\).

  10. Απόλυτη τιμή: Να γραφτεί η παράσταση \(\sqrt{x^2}\) χωρίς το σύμβολο της ρίζας για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

  11. Υπολογισμός: Να υπολογίσετε τις ρίζες \(\sqrt{324}\), \(\sqrt{1849}\) και \(\sqrt{2601}\).

  12. Εξισώσεις: Να λυθούν οι εξισώσεις \(x^3 = 8\), \(x^5 = 32\) και \(x^4 = 16\) (για \(x \ge 0\)).

  13. Ιδιότητες: Να απλοποιηθεί η παράσταση \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2}\) για \(a \ge 0\).

  14. Δείκτες: Να γραφτεί η παράσταση \(\sqrt{\sqrt{a}}\) ως μία ρίζα (με έναν δείκτη).

  15. Μεταβλητές: Αν \(x \ge 0\), να απλοποιηθεί η παράσταση \(\sqrt{x^6}\).

  16. Υπολογισμός τιμής: Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων \(16^{\frac{1}{2}}\), \(8^{\frac{2}{3}}\) και \(16^{\frac{5}{4}}\).

  17. Μετατροπή σε δύναμη: Να γράψετε τα ριζικά \(\sqrt{x^2}\) και \(\sqrt{x^6}\) (όπου \(x \geq 0\)) με τη μορφή δύναμης με ρητό εκθέτη.

  18. Αρνητικός ρητός εκθέτης: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(64^{-\frac{1}{2}}\).

  19. Απλοποίηση: Να απλοποιηθεί η παράσταση \(\alpha^{\frac{2}{3}} \cdot \alpha^{\frac{3}{4}} \cdot \alpha^{\frac{1}{12}}\) για \(\alpha \geq 0\).

  20. Σύγκριση: Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ρητών εκθετών, να συγκρίνετε τους αριθμούς \(5^{\frac{1}{2}}\) και \(10^{\frac{1}{3}}\).

  21. Αν α,β >0 , τότε να αποδείξετε ότι \(α\lt β \Longleftrightarrow \sqrt[μ]{α} \lt \sqrt[μ]{β}\)

  22. Να υπολογίσετε τις ρίζες:

  • α. \(\sqrt{256}, \sqrt[3]{512}, \sqrt[4]{1296}, \sqrt[5]{3125}\)
  • β. \(\sqrt{9}, \sqrt[3]{64}, \sqrt[4]{625}, \sqrt[5]{1}\)
  • γ. \(\sqrt{0,04}, \sqrt[3]{0,008}, \sqrt[4]{0,0016}, \sqrt[5]{0,00032}\)
  1. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά:
  • α. \(\sqrt{(\pi - 6)^2}\)
  • β. \(\sqrt{(-15)^2}\)
  • γ. \(\sqrt{(y - 4)^2}\)
  • δ. \(\sqrt{\frac{a^2}{9}}\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\sqrt{(7 - \sqrt{17})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{17})^2} = 4\)
  • β. \(\sqrt[3]{\sqrt{(10 - \sqrt{17})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{17})^2}} = 2\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \((\sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 4}) \cdot (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 4}) = -6\)
  • β. \(\left(\sqrt{x + \sqrt{x^2 - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{x^2 - 1}}\right)^2=2(x-1)\) για \(x \geq 1\).
  • γ. \(\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\right)^2=8\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \((\sqrt{20} - \sqrt{45}) \cdot (\sqrt{80} + \sqrt{125} - \sqrt{5}) = -40\)
  • β. \((\sqrt{12} + \sqrt{3} + \sqrt{27}) \cdot (\sqrt{48} - \sqrt{12}) = 36\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} = 3\)
  • β. \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{2}} = 2\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\sqrt{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[6]{3}\)
  • β. \(\sqrt[4]{3\sqrt{3\sqrt[3]{3}}} = \sqrt[12]{3^5}\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2} = 2\)
  • β. \(\sqrt[7]{3^5} \cdot \sqrt[7]{3^2} = 3\)
  • γ. \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2} = 2\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\dfrac{15 \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 45\)
  • β. \(\dfrac{\sqrt{300} \cdot \sqrt{48}}{\sqrt{27}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}\)
  1. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρονομαστές:
  • α. \(\dfrac{6}{4 - \sqrt{2}}\)
  • β. \(\dfrac{10}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\)
  • γ. \(\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\)
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\dfrac{\sqrt{200} + \sqrt{72}}{\sqrt{50} - \sqrt{18}} = 8\)
  • β. \(\sqrt{\dfrac{2^{10} + 4^6}{2^9 + 8^2}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{3}\)
  1. α. Να αποδείξετε ότι: \(\dfrac{5\sqrt{5} - 3\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = 8 + \sqrt{15}\)
  • β. Αν \(x, y > 0\) να αποδείξετε ότι: \(\dfrac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = (x + y) - \sqrt{xy}\)
  1. α. Να βρείτε τα αναπτύγματα των: \((2 + 3\sqrt{5})^2\) και \((2 - 3\sqrt{5})^2\)
  • β. Να αποδείξετε ότι: \(\sqrt{49+ 20\sqrt{6}} - \sqrt{49 - 20\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}\)
  1. α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \(\left(\sqrt{\dfrac{3}{4}} + \sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)^2\) είναι ρητός.
  • β. Αν \(x\) θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \(\left(\sqrt{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)^2\) είναι πάντα ρητός , αλλά ο \(\left(\sqrt{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)^2 + \dfrac{4}{\sqrt{x}}\) δεν είναι απαραίτητα ρητός.
  1. Να αποδείξετε ότι:
  • α. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \dfrac{9}{5}\)
  • β. \(\dfrac{1}{(\sqrt{5} - 2)^2} - \dfrac{1}{(\sqrt{5} + 2)^2} = 8\sqrt{5}\)
ΣημείωσηΑς βοηθήσουμε λίγο ……

κάντε τα κλάσματα ομώνυμα

Το πρόβλημα ζητά να αποδείξουμε την ισότητα \(\dfrac{1}{(\sqrt{5}-2)^2} - \dfrac{1}{(\sqrt{5}+2)^2} = 8\sqrt{5}\).

Θα εργαστούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης για να φτάσουμε στο δεξί. Για να αφαιρέσουμε τα κλάσματα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα χρησιμοποιώντας ως κοινό παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών τους: \(\dfrac{(\sqrt{5}+2)^2 - (\sqrt{5}-2)^2}{(\sqrt{5}-2)^2 \cdot (\sqrt{5}+2)^2}\)

Ανάπτυξη των τετραγώνων στον αριθμητή

Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) και \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\): \((\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\cdot 2\sqrt{5} + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}\) \((\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot 2\sqrt{5} + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}\)

Αφαιρώντας τα: \((9 + 4\sqrt{5}) - (9 - 4\sqrt{5}) = 9 + 4\sqrt{5} - 9 + 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των δυνάμεων \(a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n\) και την ταυτότητα διαφοράς τετραγώνων \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\): \(\left[ (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) \right]^2 = \left[ (\sqrt{5})^2 - 2^2 \right]^2\) \(= [ 5 - 4 ]^2 = 1^2 = 1\)

………………………………

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!